Comportement des suites monotones [ANALYSE

Comportement des suites monotones

Fondamental : Théorème (dit de la convergence monotone)

Toute suite croissante et majorée est convergente
Toute suite décroissante et minorée est convergente

Exemple :

Soit la suite $(u_{n})$ définie de la façon suivante :

$u_{0} = 0; u_{1} = 0,1; u_{2} = 0,12; u_{3} = 0,123; \dots; u_{11} = 0,1234567891011; u_{n}$ est le nombre obtenu en juxtaposant successivement tous les entiers $1, 2, 3, \dots, n$ après la virgule.

Il est facile de montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée par 1. Donc $(u_{n})$ converge.

Fondamental : Théorème

Toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$
Toute suite décroissante et non minorée tend vers $- \infty$

On en déduit :

Fondamental : Théorème

$q$ est un réel.

Si $q > 1$ , on a $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$
Si $| q | < 1$ , on a $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$

Note : si $q = 1$ , on a $q^{n} = 1$ et donc $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 1$

Remarque :

Si $q < - 1$ , $q^{n}$ n'a pas de limite. $q^{n}$ prend des valeurs infiniment grandes en valeur absolue, positives si $n$ est pair et négatives si $n$ est impair.