Suites adjacentes [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Suites adjacentes

Définition :

On dit que les deux suites numériques $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes lorsque la suite $(u_{n})$ est croissante, la suite $(v_{n})$ est décroissante et $\lim_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = 0$

Fondamental : Théorème

Si deux suites numériques $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes et telles que la suite $(u_{n})$ est croissante et la suite $(v_{n})$ est décroissante, alors elles convergent vers la même limite $l$ , et, pour tout $n$ on a : $u_{n} \leq l \leq v_{n}$

Soit $w_{n} = v_{n} - u_{n}$

On a : $w_{n + 1} - w_{n} = v_{n + 1} - u_{n + 1} - (v_{n} - u_{n}) = (v_{n + 1} - v_{n}) + (u_{n} - u_{n + 1})$

Or la suite $(u_{n})$ est croissante et la suite $(v_{n})$ est décroissante

donc $(v_{n + 1} - v_{n}) + (u_{n} - u_{n + 1})$ est la somme de deux termes négatifs

et donc $w_{n + 1} - w_{n} \leq 0$

La suite $(w_{n})$ est donc décroissante et converge vers 0, ce qui permet de dire que tous les termes de suite $(w_{n})$ sont positifs.

On en déduit que $v_{n} - u_{n} \geq 0$ , soit $u_{n} \leq v_{n}$

Or $(v_{n})$ est décroissante, donc, pour tout $n$ , $v_{n} \leq v_{0}$ et donc $u_{n} \leq v_{0}$

$(u_{n})$ est donc une suite croissante et majorée (par $v_{0}$ ).

$(u_{n})$ est donc convergente vers $l$ .

On montre de même que $(v_{n})$ est décroissante et minorée (par $u_{0}$ ). $(v_{n})$ est donc convergente vers $l'$ .

On en déduit que $\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = \lim_{n \to + \infty} v_{n} - \lim_{n \to + \infty} u_{n} = l' - l$

Or $\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = 0$

Donc $l' = l$

Exemple

Exemple :

Soient les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par :

$u_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$ et $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n!}$

On a :

$\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n!} = 0$
La suite $(u_{n})$ est croissante (évident)
La suite $(v_{n})$ est décroissante

En effet : $v_{n + 1} - v_{n} = u_{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)!} - (u_{n} + \frac{1}{n!})$

soit $v_{n + 1} - v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} + \frac{1}{(n + 1)!} - \frac{1}{n!}$

C'est à dire : $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{(n + 1)!} - \frac{1}{n!}$

Enfin $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1 - n}{(n + 1)!}$ . Et ce nombre est négatif pour $n \geq 1$ .

Les suite $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont donc adjacentes, elles convergent vers la même limite $l$ , et, pour tout $n$ on a : $u_{n} \leq l \leq v_{n}$