Suites croissantes, suites décroissantes [ANALYSE

Suites croissantes, suites décroissantes

Une suite $(u_{n})$ est croissante si et seulement si , pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n} \leq u_{n + 1}$ .

Une suite $(u_{n})$ est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n} \geq u_{n + 1}$ .

On dit que $(u_{n})$ est monotone si elle est croissante, ou si elle est décroissante.

Pour étudier la monotonie des suites on utilise essentiellement les méthodes suivantes :

Elle consiste :

soit à étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
soit à comparer $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ à 1, si l'on sait que $u_{n}$ est strictement positif pour tout $n$ .

soit $(u_{n})$ définie sur $ℕ$ par : $u_{n} = n^{2} + n$

On a : $u_{n + 1} - u_{n} = n^{2} + 2 n + 1 + n + 1 - (n^{2} + n) = 2 n + 2$

Pour tout $n$ entier naturel, $2 n + 2 > 0$ ,

et donc $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ ou encore : $u_{n} < u_{n + 1}$ .

Donc $(u_{n})$ est croissante.

Elle s'applique aux suites de la forme $u_{n} = f (n)$ . On utilise le sens de variation de la fonction $f$ .

soit $(u_{n})$ définie sur $ℕ$ par : $u_{n} = n^{2} + n$

$(u_{n})$ est définie à partir de la fonction $f : x \to x^{2} + x$ . $f$ est croissante sur $ℝ_{+}$ .

Donc $(u_{n})$ est croissante.

Elle s'applique aux suites de la forme : $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Prouver que la suite $(u_{n})$ définie sur $ℕ$ par : $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 6}$ est strictement croissante.

La propriété est vraie pour $n = 0$ , en effet $u_{0} = 0$ et $u_{1} = \sqrt{6}$ , donc $u_{1} > u_{0}$
Supposons la propriété vraie au rang $n$ , c'est à dire : $u_{n} > u_{n - 1}$
On a : $u_{n} + 6 > u_{n - 1} + 6$
Donc $\sqrt{u_{n} + 6} > \sqrt{u_{n - 1} + 6}$ , car la fonction $x \to \sqrt{x}$ est croissante
Donc $u_{n + 1} > u_{n}$
la suite $(u_{n})$ est donc strictement croissante.