Suites arithmétiques et géométriques [ANALYSE

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite $(u_{n})$ est arithmétique si chacun de ses termes se déduit du précédent en lui ajoutant une constante $r$ appelée raison. $(u_{n})$ est définie sur $ℕ$ par son premier terme $u_{0}$ et par : $u_{n + 1} = u_{n} + r$

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si chacun de ses termes se déduit du précédent en le multipliant par une constante $q$ appelée raison. $(u_{n})$ est définie sur $ℕ$ par son premier terme $u_{0}$ et par : $u_{n + 1} = u_{n} \times q$

Calculer les sommes : $S = 11 + 13 + 15 + \dots + 47 + 49$ et $S' = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16384}$

$S$ est la somme de 20 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2. ( $20 = \frac{49 - 11}{2} + 1$ ). $S = \frac{11 + 49}{2} \times 20 = 600$
$S'$ est la somme de 13 termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $\frac{1}{4}$ et de raison $\frac{1}{2}$ . En effet : $\frac{1}{16384} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2^{12}}$
Donc $S = \frac{1}{4} \times \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{13}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2^{13} - 1}{2^{14}} = \frac{8191}{16384}$