Suites majorées, minorées [ANALYSE

Suites majorées, minorées

Définition :

Soit $(u_{n})$ une suite numérique.

La suite $(u_{n})$ est majorée si et seulement s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ , pour tout entier naturel $n$ .

La suite $(u_{n})$ est minorée si et seulement s'il existe un réel $m$ tel que $u_{n} \geq m$ , pour tout entier naturel $n$ .

Remarque : Note

Si $(u_{n})$ est, à la fois majorée et minorée on dit qu'elle est bornée.

Pour prouver qu'une suite est majorée ou minorée on utilise essentiellement les méthodes suivantes :

Exemple

Exemple :

Prouver que la suite $(u_{n})$ définie sur $ℕ^{*}$ par $u_{n} = \frac{\ln n}{n}$ est telle que : $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{e}$

Le tableau de variation de la fonction $f : x \to \frac{\ln x}{x}$ montre que cette fonction est croissante sur $] 0; e]$ , passe par un maximum égal à $\frac{1}{e}$ , et décroît vers 0.

De plus $f (1) = 0$ . On peut donc affirmer que pour $n$ entier supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{e}$

Exemple

Exemple :

Prouver que la suite $(u_{n})$ définie sur $ℕ$ par : $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 6}$ est telle que : $0 \leq u_{n} \leq 3$

On résonne par récurrence

La propriété est vraie pour $n = 0$ , en effet $u_{0} = 0$ et $0 \leq u_{0} \leq 3$
Supposons la propriété vraie au rang $n$ , c'est à dire : $0 \leq u_{n} \leq 3$

On a : $6 \leq u_{0} + 6 \leq 9$

Donc $\sqrt{6} \leq \sqrt{u_{0} + 6} \leq \sqrt{9}$ , car la fonction $x \to \sqrt{x}$ est croissante

Donc $\sqrt{6} \leq u_{n + 1} \leq \sqrt{9}$ , et donc $0 \leq u_{n + 1} \leq 3$ .

la suite $(u_{n})$ est donc telle que $0 \leq u_{n} \leq 3$ .