Limite d'une suite [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Définition

Définition :

Soit $(u_{n})$ une suite numérique et $l$ un réel. On dit que $(u_{n})$ converge vers $l$ (ou a pour limite $l$ ) si tout intervalle ouvert contenant $l$ , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit : $\forall ε > 0, \exists n_{0} \in ℕ / \forall n \geq n_{0}, | u_{n} - l | \leq ε$ ,

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ ou encore $\begin{matrix} u_{n} \to l \\ n \to + \infty \end{matrix}$

Si la suite $(u_{n})$ ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

Remarque :

$| u_{n} - l | \leq ε \Leftrightarrow - ε < u_{n} - l < ε \Leftrightarrow u_{n} \in] l - ε; l + ε [$

Remarque :

Si une suite est convergente, sa limite est unique.

Exemple

Exemple :

Soit $x_{n} = \frac{1}{n}$ , on a $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = 0$

En effet $\forall ε > 0, \exists n_{0} = \frac{1}{ε} / \forall n > n_{0}, 0 < \frac{1}{n} < ε$

Et donc $- ε < \frac{1}{n} < ε \Leftrightarrow | x_{n} - 0 | \leq ε$

Plus généralement

Les suites définies, pour $n \in ℕ^{*}$ , par : $\frac{1}{n^{α}}$ , ( $α > 0$ ) ont pour limite 0

Suite de limite infinie

Définition :

Soit $(u_{n})$ une suite numérique et $A$ un réel positif choisi aussi grand qu'on le veut. On dit que $(u_{n})$ admet pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $[A; + \infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit : $\forall A > 0, \exists n_{0} \in ℕ / n \geq n_{0} \Rightarrow u_{n} > A$

On note _ $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ ou encore $\begin{matrix} u_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$

De même :

$(u_{n})$ admet pour limite $- \infty \Leftrightarrow \forall A < 0, \exists n_{0} \in ℕ / n \geq n_{0} \Rightarrow u_{n} < A$

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ ou encore $\begin{matrix} u_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$

Lorsque la suite $(u_{n})$ admet pour limite $+ \infty$ [respectivement $- \infty$ ], on dit qu'elle diverge vers $+ \infty$ [respectivement $- \infty$ ]. Mais attention, une suite peut être divergente pour deux raisons :

soit sa limite est $+ \infty$ ou $- \infty$
soit elle n'a pas de limite : par exemple la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ est une suite alternée, chaque terme est égal à 1 si $n$ est pair ou (-1) si $n$ est impair ; elle n'a pas de limite, on dit qu'elle diverge.

Remarque : Important

Les suites définies, pour $n \in ℕ$ , par : $u_{n} = n^{α}$ , ( $α > 0$ ) ont pour limite $+ \infty$