Opérations sur les limites [ANALYSE

Opérations sur les limites

Théorèmes

Fondamental : Théorème

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites numériques qui convergent respectivement vers $l$ et $l'$ alors

La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ converge vers $l + l'$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = k u_{n}$ ( $k$ réel fixé) converge vers $kl$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} v_{n}$ converge vers $l l'$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}$ converge vers $\frac{l}{l'}$ si $l' \neq 0$

Fondamental : Théorème

Si $\begin{matrix} u_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ et $\begin{matrix} v_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ alors

La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = k u_{n}$ ( $k$ réel fixé) est telle que :
$\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ si $k > 0$ et $\begin{matrix} w_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ si $k < 0$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} v_{n}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$

On obtient des résultats analogues lorsque $\begin{matrix} u_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ et $\begin{matrix} v_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$

Fondamental : Théorème

Si $\begin{matrix} u_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ et $\begin{matrix} v_{n} \to l \\ n \to + \infty \end{matrix}$ alors

La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} + v_{n}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$
La suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} v_{n}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ si $l > 0$ et $\begin{matrix} w_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ si $l < 0$

Fondamental : Théorème

Si $\begin{matrix} u_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$ alors la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to 0 \\ n \to + \infty \end{matrix}$
Si $\begin{matrix} u_{n} \to 0 \\ n \to + \infty \end{matrix}$ et si $u_{n} > 0$ à partir d'un certain rang, alors la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \frac{1}{u_{n}}$ est telle que : $\begin{matrix} w_{n} \to + \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$

Remarques - formes indéterminées

Remarque :

Si $u_{n} \to + \infty$ et $v_{n} \to - \infty$ , on ne peut pas conclure immédiatement pour la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} + v_{n}$
Si $u_{n} \to + \infty$ (ou $- \infty$ ) et $v_{n} \to 0$ , on ne peut pas conclure immédiatement pour la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = u_{n} v_{n}$
Si $u_{n} \to + \infty$ (ou $- \infty$ ) et $v_{n} \to + \infty$ (ou $- \infty$ ), on ne peut pas conclure immédiatement pour la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}$
Si $u_{n} \to 0$ et $v_{n} \to 0$ , on ne peut pas conclure immédiatement pour la suite $(w_{n})$ définie par $w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}$

Exemple

Exemple :

Soit $u_{n} = \ln n$ et $v_{n} = n$

$w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}}$ est une forme indéterminée,
$w_{n} = \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{\ln n}{n}$ donc $\begin{matrix} w_{n} \to 0 \\ n \to + \infty \end{matrix}$

$z_{n} = u_{n} - v_{n}$ est une forme indéterminée,
$z_{n} = u_{n} - v_{n} = \ln n - n = n (\frac{\ln n}{n} - 1)$

Donc $\lim_{n \to + \infty} z_{n} = \lim_{n \to + \infty} (- n)$ et donc $\begin{matrix} z_{n} \to - \infty \\ n \to + \infty \end{matrix}$