Suites équivalentes [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Suites équivalentes

Définition :

Si $\exists n_{0} \in ℕ$ tel que $(v_{n}) \neq 0$ pour tout $n \geq n_{0}$ , on dit que les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, et on écrit $(u_{n}) \sim (v_{n})$ lorsque $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1$

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont alors de même nature (convergente ou divergente)

Exemple :

Soient $u_{n} = \ln (\frac{1 + n}{n})$ et $v_{n} = \frac{1}{n}$

On sait que $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$

donc $\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = 1$

On conclut que : $(u_{n}) \sim (v_{n})$