Suites extraites [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Suites extraites

Définition :

Si $(u_{n})$ est une suite réelle, on appelle suite extraite toute suite $(v_{n})$ de la forme $v_{n} = u_{φ (n)}$ où $φ$ est une fonction strictement croissante de $ℕ$ dans $ℕ$ .

Exemple :

Les suites $(u_{2 n})$ , $(u_{2 n + 1})$ (suites de termes d'indice pair et suite des termes d'indice impair), et $(u_{n^{2}})$ sont des suites extraites de la suite $(u_{n})$

Fondamental : Propriété

Si $(u_{n})$ est une suite réelle convergente vers $l$ , alors toute suite extraite de $(u_{n})$ est convergente vers la même limite $l$

Attention :

La réciproque est fausse ! En effet, la suite définie pour tout entier $n$ par $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ est divergente. Or les suites extraites et $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ convergent respectivement vers 1 et -1.

Fondamental : Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite réelle et $l$ un réel. Pour que $(u_{n})$ converge vers $l$ , il faut et il suffit que ${(u_{2 p})}_{p \in ℕ}$ et ${(u_{2 p + 1})}_{p \in ℕ}$ convergent vers la même limite $l$