Extremum d'une fonction

Définition

Une fonction f f admet, au point x 0 x_0 , un maximum local [respectivement minimum local] f ( x 0 ) f(x_0) sur l'intervalle I I ouvert inclus dans son ensemble de définition et contenant x 0 x_0 , lorsque, pour tout x x réel de I I , f ( x ) ≤ f ( x 0 ) f(x) <= f(x_0) [respectivement f ( x ) ≥ f ( x 0 ) f(x) >= f(x_0)

On appelle extremum local un minimum ou maximum local.

FondamentalThéorème

Soit f f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I I et x 0 x_0 un point de I I . Si f f admet un extremum local en x 0 x_0 , alors f ' ( x 0 ) = 0 f'(x_0) = 0 . Si la dérivée f ' f' s'annule en x 0 x_0 en changeant de signe, alors f ( x 0 ) f(x_0) est un extremum local de f f sur I I .

Attention

La fonction f : x → | x | f nitalic : x toward abs{x} n'est pas dérivable en 0, mais admet un minimum local (0) en 0.

Et la fonction g : x → x 3 g nitalic : x toward x^3 n'admet pas d'extremum au point 0, pourtant g ' ( 0 ) = 0 g'(0) = 0