Dérivées successives [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Dérivées successives

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f'$ est la dérivée première de $f$ , on la note aussi $f^{(1)}$ ou encore $\frac{df}{dx}$ .

Si $f'$ est dérivable sur $I$ , sa dérivée $f''$ est appelée fonction dérivée seconde de $f$ , on la note aussi $f^{(2)}$ ou encore $\frac{d^{2} f}{{dx}^{2}}$

Par itération, la fonction dérivée d'ordre $n$ ( $n \in ℕ^{*}$ ), notée $f^{(n)}$ , est la dérivée de la fonction dérivée d'ordre $n - 1$ . On la note aussi $\frac{d^{n} f}{{dx}^{n}}$ . On dit alors que $f$ est $n$ fois dérivable.

Définition : Fonction continûment dérivable

Si une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si sa dérivée $f'$ est continue sur $I$ , on dit que $f$ est continûment dérivable sur $I$ . On dit alors que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ .

Plus généralement, on dit que $f$ est $n$ fois ( $n \in ℕ$ ) continûment dérivable sur $I$ , ou de classe $C^{n}$ sur $I$ , si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et si $f^{(n)}$ est continue sur $I$ .

Par convention : on pose $f^{(0)} = f$ et on dit que $f$ est de classe $C^{0}$ sur $I$ si $f$ est continue sur $I$ . Si $f$ admet des dérivées de tous ordres, on dit que $f$ est de classe $C^{\infty}$ .

Fondamental : Théorème

(Formule de Leibniz) Soient $u$ et $v$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$ , on montre aisément :

$(uv)' = u' v + uv'$

$(uv)' = u'' v + 2 u' v' + uv''$

${(uv)}^{(3)} = u^{(3)} v + 3 u'' v' + 3 u' v'' + {uv}^{(3)}$

Par récurrence, il est assez aisé de montrer la formule de Leibniz :

{(uv)}^{(n)} = C_{n}^{0} u^{(n)} v + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v' + \dots + C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} + \dots + C_{n}^{n} u v^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v (k)

Exemple :

Dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} e^{x}$

On écrit $f (x) = e^{x} \times x^{2}$

On applique la formule de Leibniz, on obtient :

$f^{(n)} (x) = C_{n}^{n} e^{x} \times x^{2} + C_{n}^{1} e^{x} \times 2 x + C_{n}^{2} e^{x} \times 2 + 0$

Soit :

$f (n) (x) = e^{x} [x^{2} + 2 nx + n (n - 1)]$