Dérivabilité et continuité [ANALYSE

Dérivabilité et continuité

Si $f$ est dérivable en $a$ (ou à gauche de $a$ , ou à droite de $a$ ) alors $f$ est continue (ou à gauche de $a$ , ou à droite de $a$ ).

ATTENTION : la réciproque de ce théorème est fausse.

Soit la fonction définie sur $ℝ$ par :

$x \to {\begin{matrix} x \sin \frac{1}{x} si x \neq 0 \\ 0 si x = O \end{matrix}$

$f$ est continue en 0, en effet $\lim_{x \to 0} x \sin (\frac{1}{x}) = 0 = f (0)$

Pourtant $f$ n'est pas dérivable en 0, en effet

$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin (\frac{1}{x}) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x})$

et $\lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x})$ n'existe pas.