Fonctions convexes sur un intervalle I

Définition

On dit qu'une fonction f f définie sur l'intervalle I I est convexe sur I I si et seulement si :

∀ ( x 1 , x 2 ) ∈ I 2 , ∀ λ ∈ [ 0 ; 1 ] , f ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) ≤ f ( λ x 1 ) + ( 1 − λ ) f ( x 2 ) forall (x_1 , x_2 ) in I^2 , ~ forall %lambda in left [ 0 nitalic ; 1 right ] , ~ f(%lambda x_1 + (1 - %lambda) x_2 ) <= f(%lambda x_1) + (1 - %lambda) f(x_2)

Cette définition exprime le fait que, x 1 x_1 et x 2 x_2 étant deux réels quelconques de l'intervalle I I , M 1 M_1 et M 2 M_2 les points de la courbe de coordonnées : M 1 ( x 1 ; f ( x 1 ) ) M_1(x_1 nitalic ; f(x_1)) et M 2 ( x 2 ; f ( x 2 ) ) M_2 (x_2 nitalic ; f(x_2)) , l'arc de courbe M 1 M 2 M_1 M_2 est au dessous de la corde [ M 1 M 2 ] left [M_1 M_2 right ] .

FondamentalLemme des trois pentes

Si f f est une fonction convexe sur  I I alors

∀ ( x , y , z ) ∈ I 3 , x < y < z ⇒ f ( y ) − f ( x ) y − x ≤ f ( z ) − f ( x ) z − x ≤ f ( z ) − f ( y ) z − y forall (x , y , z) in I^3 , ~ x<y<z drarrow {f(y)-f(x)}over{y-x} <= {f(z)-f(x)}over{z-x} <= {f(z)-f(y)}over{z-y}

FondamentalThéorème

Si f f est dérivable sur I I alors f f convexe sur I I équivaut à f ' f' croissante sur I I .

FondamentalThéorème

Si f f est deux fois dérivable sur I I alors f f convexe sur I I équivaut à f ' ' f'' positive sur I I .