Théorèmes de Rolle et des accroissements finis [ANALYSE

Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis

Fondamental : Théorème de Rolle

Soit $f$ une fonction continue sur $\bar{I} = [a; b]$ , dérivable sur $I =] a; b [$ et telle que $f (a) = f (b)$ .

Alors il existe $c \in I$ tel que $f' (c) = 0$

Fondamental : Théorème des accroissements finis

Soit $f$ une fonction continue sur $\bar{I} = [a; b]$ , et dérivable sur $I =] a; b [$ .

Alors il existe $c \in I$ tel que $f (b) - f (a) = (b - a) f' (c)$ .

Fondamental : Inégalité des accroissements finis

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , $a$ et $b$ deux points de $I$ tels que $a < b$ . S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que, pour tout $x$ de $I$ , on ait : $m < f' (x) < M$ , alors on a :

$m (b - a) < f (b) - f (a) < M (b - a)$

Pour démontrer ce théorème, il suffit d'étudier les variations de deux fonctions auxiliaires définies sur $I$ : $g (x) = f (x) - M x$ et $h (x) = f (x) - m x$ . En calculant les dérivées de $g$ et $h$ , on prouve aisément que $g$ est décroissante et que $h$ est croissante.

on en déduit que,

$si a < b, alors : g (a) < g (b)$

c'est à dire :

$f (a) - M a > f (b) - M b$

ou encore :

$f (b) - f (a) < M (b - a)$ (1)

De même,

$si a < b, alors : h (a) < h (b)$

c'est à dire

$f (a) - m a < f (b) - m b$

ou encore

$f (b) - f (a) > m (b - a)$ (2)

En utilisant (1) et (2), on obtient le théorème précédent.

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie sur $[0; \frac{π}{4}]$ par $f (x) = \tan x$ .

On a : $f' (x) = 1 + \tan^{2} x$

Pour $0 < x < \frac{π}{4}$ , on a $0 < \tan x < 1$ , car la fonction tangente est croissante sur $[0; \frac{π}{4}]$

Donc, pour $0 < x < \frac{π}{4}$ , on a $0 < \tan^{2} x < 1$

et donc $1 < 1 + \tan^{2} x < 2$

On en déduit que, pour $b \in [0; \frac{π}{4}]$ , $1 (b - 0) < \tan b - \tan 0 < 2 (b - 0)$

Et donc : pour $b \in [0; \frac{π}{4}]$ , $b < \tan b < 2 b$