Dérivée de la réciproque d'une fonction bijective

FondamentalThéorème

Soient I I un intervalle de ℝ setR et f f une fonction dérivable sur I I . Si pour tout x x de I I , f ' ( x ) > 0 f'(x) > 0 [ou bien f ' ( x ) < 0 f'(x) < 0 ], alors f f est une bijection de I I sur f ( I ) f(I) et l'application réciproque f − 1 f^{-1} est dérivable sur f ( I ) f(I) et :

( f − 1 ) ' = 1 f ' o f − 1 (f^{-1})^' = 1 over {f' size 10{o} f^-1}

Exemple

fonction dérivée de la fonction définie sur ℝ + setR_{{}+{}} par f ( x ) = x f(x) = sqrt x

La fonction réciproque g g est définie sur ℝ + setR_{{}+{}} et telle que g ( y ) = y 2 g(y)= y^2 et  g ' ( y ) = 2 y g'(y)= 2y ;

Or g g s'annule en 0. f f est donc dérivable sur ℝ + ∗ setR_{{}+{}}^{{}*{}} et :

f ' ( x ) = ( g − 1 ) ' ( x ) = 1 g ' [ g − 1 ( x ) ] = 1 2 x f'(x) = (g^{-1})^'(x) = 1 over {g' [g^-1(x)]} = 1 over {2 sqrt x}