Définitions [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Définitions

Définition :

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $a$ est dérivable au point $a$ s'il existe un réel $A$ tel que :

$\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = A$

ou encore

$\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = A$

Le nombre $A$ est appelé nombre dérivé de la fonction $f$ au point $a$ .

Définition :

Si $f$ est une fonction dérivable en tout point d'un intervalle $I$ ouvert, on dit que $f$ est dérivable sur $I$ . $f$ étant une fonction dérivable sur $I$ , la fonction, notée $f'$ , qui a tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ au point $x$ , s'appelle fonction dérivée de $f$ .

Remarque :

Si $f$ est une fonction de la variable réelle $x$ , $f'$ se note aussi $\frac{df}{dx}$

Pour tout $a \in I$ ,

$\lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = f' (a)$

On peut donc écrire :

$f (a + h) - f (a) = h (f' (a) + φ (h))$ avec $\lim_{h \to 0} φ (h) = 0$

ou encore :

$f (a + h) = f (a) + h f' (a) + h φ (h)$ avec $\lim_{h \to 0} φ (h) = 0$

On dit que $f$ est différentiable en $a$ . Cette écriture est aussi appelée développement limité d'ordre 1 de $f$ en $a$ .

Exemple :

Soit $f : x \to \sqrt{x}$

on a :

$\lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1 + h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1 + h} - 1) (\sqrt{1 + h} + 1)}{h (\sqrt{1 + h} + 1)}$

Donc :

$\lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h (\sqrt{1 + h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(\sqrt{1 + h} + 1)} = \frac{1}{2}$

Donc

$\sqrt{1 + h} = 1 + \frac{1}{2} h + h φ (h)$ avec $\lim_{h \to 0} φ (h) = 0$