ANALYSE - Concours B des ENSA

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $u(x_0)$. Si $u$ est dérivable en $x_0$ et $g$ est dérivable en $y_0=u(x_0)$ alors la fonction $f=g\circ u$ est dérivable en $x_0$ et : $f\text{'}(x_0)=g\text{'}(u(x_0))\times u\text{'}(x_0)$.

Si $u$ est dérivable sur $I$, si $g$ est dérivable sur $J$ et si pour tout $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$, alors $f$ est dérivable sur $I$, et pour tout $x$, $f\text{'}(x)=g\text{'}(u(x))\times u\text{'}(x)$.

On note

$(gou)\text{'}=(g\text{'}ou)u\text{'}$

Démonstration : en supposant que si on a , on peut alors écrire :

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{g[u(x)]-g[u(x_0)]}{x-x_0}=\frac{g[u(x)]-g[u(x_0)]}{u(x)-u(x_0)}\times \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}$

$u$ étant dérivable en $x_0$, on obtient :

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}=u\text{'}(x_0)$

de plus, $u$ étant dérivable en $x_0$, $u$ est continue en $x_0$, donc :

$\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=u(x_0)$

et donc

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g[u(x)]-g[u(x_0)]}{x-x_0}=\underset{x\to y_0}{\lim }\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=g\text{'}(y_0)$

Finalement :

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g\text{'}(y_0)\times u\text{'}(x_0)$

En particulier, $u$ est une fonction dérivable sur $I$, les fonctions suivantes sont dérivables sur $I$

1. Pour $p\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, si $f(x)={[u(x)]}^p$, alors $f\text{'}(x)=p{[u(x)]}^{p-1}\times u\text{'}(x)$. (avec sur $I$ lorsque $p>0$)

2. Pour $q\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}^{\ast }$, si $f(x)={[u(x)]}^{\frac{1}{q}}$, alors $f\text{'}(x)=\frac{1}{q}{[u(x)]}^{\frac{1}{q}-1}\times u\text{'}(x)$. (avec $u(x)>0$ sur $I$ )

3. Si $f(x)=e^{u(x)}$ alors$f\text{'}(x)=u\text{'}(x)\times e^{u(x)}$.

4. Si $f(x)=\ln u(x)$ alors$f\text{'}(x)=\frac{u\text{'}(x)}{u(x)}$, avec $u(x)>0$ sur $I$.