On écrit cos ( β x + φ ) cos (%beta x + %varphi) sous la forme cos ( β x + φ ) = λ cos ( β x ) + μ sin ( β x ) cos (%beta x + %varphi) = %lambda cos (%beta x) + %mu sin (%beta x)
La solution particulière de l'équation
a y ' ' + b y ' + c y = e α x cos ( β x + φ ) a y '' + b y' + c y = e^{%alpha x} cos (%beta x + %varphi)
sera la somme d'une solution particulière de
a y ' ' + b y ' + c y = λ e α x cos ( β x ) a y '' + b y' + c y = %lambda e^{%alpha x} cos (%beta x )
et la solution particulière de
a y ' ' + b y ' + c y = μ e α x sin ( β x ) a y '' + b y' + c y = %mu e^{%alpha x} sin (%beta x )
On est donc ramené au cas précédent.