ANALYSE - Concours B des ENSA

$y\text{'}\text{'}+2y\text{'}+2y=0$

L'équation caractéristique obtenue en recherchant une solution du type $y(x)=e^{rx}$ est :

$r^2+2r+2=0$

Cette équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : $r_1=-1+i$ et $r_2=-1-i$. La solution de l'équation sans second membre est donc :

$y_1=e^{-x}[C_1\sin (x)+C_2\cos (x)]$

où $C_1$et $C_2$sont des constantes réelles.

Dans l'équation avec second membre, posons $y_2(x)=e^x\times z(x)$

On obtient

$y_2\text{'}(x)=e^x[z(x)+z\text{'}(x)]$

puis :

$y_2\text{'}\text{'}(x)=e^x[z(x)+z\text{'}(x)]+e^x[z\text{'}\text{'}(x)+z\text{'}(x)]$

En injectant ces relations dans l'équation, on obtient :

$e^x[z\text{'}\text{'}(x)+2z\text{'}(x)+z(x)]+2e^x[z\text{'}(x)+z(x)]+2e^{x}z(x)=e^x\cos (2x)$

soit :

$e^x[z\text{'}\text{'}(x)+4z\text{'}(x)+5z(x)]=e^x\cos (2x)$

Soit l'équation intermédiaire :

$z\text{'}\text{'}+4z\text{'}+5z=\cos (2x)$

L'équation homogène associée est : $z\text{'}\text{'}+4z\text{'}+5z=0$

L'équation caractéristique est : $r^2+4r+5=0$

Cette équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : $r_1=-2+i$ et $r_2=-2-i$

$\cos (2x)$ n'est pas solution de l'équation sans second membre. On recherche donc une solution particulière du type :

$z_2(x)=A\sin (2x)+B\cos (2x)$

On a

$z_2\text{'}(x)=2A\cos (2x)-2B\sin (2x)$

et

$z_2\text{'}\text{'}(x)=-4A\sin (2x)-4B\cos (2x)$

L'équation appliquée à $z_2$conduit à l'égalité valable quelque soit $x$ :

$\cos (2x)=-4A\sin (2x)-4B\cos (2x)+8A\cos (2x)-8B\sin (2x)+5A\sin (2x)+5B\cos (2x)$

Soit :

$(A-8B)\sin (2x)+(B+8A)\cos (2x)=\cos (2x)$

Il faut donc

$\{\begin{array}{c}A-8B=0\\ \\ 8A+B=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}64B+A=1\\ \\ A=8B\end{array}$

La solution particulière de l'équation intermédiaire est donc :

$z_2(x)=\frac{8}{65}\sin (2x)+\frac{1}{65}\cos (2x)$

La solution particulière de l'équation initiale est donc :

$y_2(x)=e^x\left[\frac{8}{65}\sin (2x)+\frac{1}{65}\cos (2x)\right]$

$y=e^{-x}\left[C_1\sin (x)+C_2\cos (x)\right]+e^x\left[\frac{8}{65}\sin (2x)+\frac{1}{65}\cos (2x)\right]$

où $C_1$et $C_2$sont des constantes réelles.

On a montré que la solution de l'équation sans second membre est

$y_1=e^{-x}[C_1\sin (x)+C_2\cos (x)]$

où $C_1$et $C_2$sont des constantes réelles.

Dans l'équation avec second membre, posons $y_2(x)=e^{-x}\times z(x)$

On obtient :

$y_2\text{'}(x)=e^{-x}[z\text{'}(x)-z(x)]$

puis :

$y_2\text{'}\text{'}(x)=e^{-x}[z\text{'}\text{'}(x)-z\text{'}(x)]-e^{-x}[z\text{'}(x)-z(x)]$

En injectant ces relations dans l'équation, on obtient :

$e^{-x}[z\text{'}\text{'}(x)-2z\text{'}(x)+z(x)]+2e^{-x}[z\text{'}(x)-z(x)]+2e^{-x}z(x)=e^{-x}\cos (x)$

soit :

$e^{-x}[z\text{'}\text{'}(x)+z(x)]=e^{-x}\cos (x)$

Soit l'équation intermédiaire $z\text{'}\text{'}+z=\cos (x)$

L'équation homogène associé est : $z\text{'}\text{'}+z=0$

L'équation caractéristique est : $r^2+1=0$

Cette équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : $r_1=i$ et $r_2=-i$

$\cos (x)$ est solution de l'équation sans second membre. On recherche donc une solution particulière du type :

$z_2(x)=Ax\sin (x)+Bx\cos (x)$

On a

$z_2\text{'}(x)=(Ax+B)\cos (x)+(A-Bx)\sin (x)$

et

$z_2\text{'}\text{'}(x)=-(Ax+2B)\sin (x)+(2A-Bx)\cos (x)$

L'équation appliquée à $z_2$conduit à l'égalité valable quelque soit $x$ :

$(-Ax-2B)\sin (x)+Ax\sin (x)+(2A-Bx)\cos (x)+Bx\cos (x)=\cos (x)$

Soit :

$-2B\sin (x)+2A\cos (x)=\cos (x)$

Il faut donc :

$\{\begin{array}{c}B=0\\ \\ A=\frac{1}{2}\end{array}$

La solution particulière de l'équation intermédiaire est donc :

$z_2(x)=\frac{x}{2}\sin (x)$

La solution particulière de l'équation initiale est donc :

$y_2(x)=e^{-x}\times \frac{x}{2}\sin (x)$

$y=e^{-x}[C_1\sin (x)+C_2\cos (x)]+e^{-x}\times \frac{x}{2}\sin (x)$

soit :

$y=e^{-x}\left[\left(\frac{x}{2}+C_1\right)\sin (x)+C_2\cos (x)\right]$

où $C_1$et $C_2$sont des constantes réelles.