Equations linéaires homogènes à coefficients constants [ANALYSE

Introduction

On cherche ici à déterminer la solution des équations différentielles du type :

$a y'' + b y' + c = 0$

où $a$ , $b$ et $c$ sont des constantes et $a \neq 0$ .

On cherche une solution du type :

$y = e^{rx}$

Le développement de l'équation différentielle avec cette fonction $y$ , conduit à l'équation caractéristique :

$a r^{2} + b r + c = 0$

Propriété

Fondamental : Propriété

On distingue trois cas suivant le signe du discriminant ( $Δ = b^{2} - 4 a c$ )

si $Δ > 0$ , on a deux racines réelles : $r_{1}$ et $r_{2}$ . La solution générale de l'équation homogène est définie par :
$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
si $Δ < 0$ , on a deux racines complexes conjuguées : $r_{1} = α + β i$ et $r_{2} = α - β i$ . La solution générale de l'équation homogène est définie par :
$y = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x} = e^{α x} [A \cos (β x) + B \sin (β x)]$
si $Δ = 0$ , on a une racine réelle double : $r$ . La solution générale de l'équation homogène est définie par :
$y = e^{r x} (C_{1} x + C_{2})$

Dans tous les cas, les constantes $C_{1}$ et $C_{2}$ seront fixées par les conditions initiales.

Exercice classique

Exemple :

Résoudre l'équation différentielle du second ordre

$y'' (x) + y (x) = 0$

avec les conditions :

$y (0) = 1 et y' (0) = 0$

l'équation caractéristique associée à cette équation est :

$r^{2} + 1 = 0$

Le discriminant ( $Δ = - 4 = {(2 i)}^{2}$ ) est négatif et cette équation admet deux racines complexes : $r_{1} = i$ et $r_{2} = - i$ . La solution de l'équation est donc :

$y (x) = A e^{ix} + B e^{- ix}$

qui peut s'écrire sous la forme :

$y (x) = C \cos (x) + D \sin (x)$

On détermine les constantes réelles $C$ et $D$ grâce aux conditions aux limites. Pour cela il faut calculer la dérivée de $y$ , soit :

$y' (x) = - C \sin (x) + D \cos (x)$

Soit :

${\begin{matrix} y (0) = C = 1 \\ y' (0) = D = 0 \end{matrix}$

La solution recherchée est donc : $y (x) = \cos (x)$

Exercice classique

Exemple :

Résoudre l'équation différentielle du second ordre

$y'' (x) - y (x) = 0$

${\begin{matrix} y (0) = 0 \\ y' (0) = 1 \end{matrix}$

l'équation caractéristique associée à cette équation est :

$r^{2} - 1 = 0$

Le discriminant ( $Δ = 4$ ) est positif et cette équation admet deux racines réelles : $r_{1} = 1$ et $r_{2} = - 1$ . La solution de l'équation est donc :

$y (x) = A e^{x} + B e^{- x}$

On détermine les constantes réelles $A$ et $B$ grâce aux conditions aux limites. Pour cela il faut calculer la dérivée de $y$ , soit :

$y' (x) = A e^{x} - B e^{- x}$

Soit :

${\begin{matrix} y (0) = A + B = 0 \\ y' (0) = A - B = 1 \end{matrix}$

D'où

${\begin{matrix} A = \frac{1}{2} \\ B = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

La solution recherchée est donc :

$y (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Exercice classique

Exemple :

Résoudre l'équation différentielle du second ordre

$y'' (x) + 2 y' (x) + y (x) = 0$

avec les conditions :

${\begin{matrix} y (0) = 1 \\ y (1) = 0 \end{matrix}$

l'équation caractéristique associée à cette équation est :

$r^{2} + 2 r + 1 = 0$

Le discriminant ( $Δ = 0$ ) est nul et cette équation admet une racine double : $r = - 1$ . La solution de l'équation est donc :

$y (x) = (A x + B) e^{- x}$

On détermine les constantes réelles $A$ et $B$ grâce aux conditions aux limites. Soit :

${\begin{matrix} y (0) = B = 1 \\ y (1) = (A + B) e^{- 1} = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} A = - 1 \\ B = 1 \end{matrix}$

$y (x) = (1 - x) e^{- x}$