Définition générale [ANALYSE - Concours B des ENSA]

Définition

Définition :

On appelle équation différentielle linéaire d'ordre $n$ ,( $n \in ℕ$ ) , une équation de la forme :

$\sum_{k = 0}^{n} a_{k} (x) \frac{d^{k} y}{{dx}^{k}} (x) = b (x)$

$y$ est la fonction cherchée

$\frac{d^{k} y}{{dx}^{k}}$ est la dérivée $k^{ième}$ de $y$ par rapport à $x$

les fonctions $a_{k}$ sont des fonctions de $x$ et $a_{n} \neq 0$
$b (x)$ est appelé second membre de l'équation

Si les fonctions $a_{k}$ sont les constantes, alors on dit que l'équation différentielle est à coefficients constants.

Remarque

Remarque :

On rappelle que

$\frac{d^{0} y}{{dx}^{0}} (x) = y$

Dans la suite, on notera

$y' (x)$ la dérivée première de $y$ par rapport à $x$
$y^{(2)}$ ou $y''$ la dérivée seconde de $y$ par rapport à $x$
$y^{(n)}$ la dérivée $n^{ième}$ de $y$ par rapport à $x$
L'équation différentielle sera dite homogène si et seulement si $b (x) = 0$

L'équation différentielle sera dite normalisée si et seulement si $a_{n} (x) = 1$ .

Propriété

Fondamental :

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de $ℝ$ dans $ℝ$ . La résolution de l'équation homogène d'ordre $n$ suppose donc la détermination de $n$ solutions indépendantes $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ formant une base du sous-espace vectoriel des solutions. Ainsi, il faudra déterminer autant de solutions que l'ordre de l'équation, la solution générale étant une combinaison linéaire de ces solutions, soit :

$y (x) = \sum_{k = 0}^{n} α_{k} y_{k} (x)$

La solution des équations peut être explicite, dans ce cas on obtient une relation de type $y = g (x)$ ou $x = h (y)$ mais elle peut être implicite et conduire à une relation du type $F (x, y) = 0$ .