Cas particulier : f est une fonction sin ou cos

Propriété

  • Si sin ( β x ) sin (%beta x ) (ou cos ( β x ) cos (%beta x ) ) n'est pas solution de l'équation sans second membre, on cherche une solution particulière du type :

    y ( x ) = A cos ( β x ) + B sin ( β x ) y(x)= A cos (%beta x ) + B sin(%beta x )

  • Si  sin ( β x ) sin (%beta x ) (ou cos ( β x ) cos (%beta x ) ) est une solution de l'équation sans second membre, on cherche une solution particulière du type :

    y ( x ) = A x cos ( β x ) + B x sin ( β x ) y(x)= A x cos (%beta x ) + B x sin(%beta x )

Exemple

Résoudre y ' ' − 3 y ' + 2 y = 3 sin ( x ) y'' -3 y' + 2 y = 3 sin (x)

Recherche de la solution de l'équation homogène associée 

Exemple

L'équation caractéristique obtenue en recherchant une solution du type y ( x ) = e r x y(x)= e^{r x} est :

r 2 − 3 r + 2 = 0 r^2 -3 r + 2 = 0

Cette équation du second ordre admet deux solutions réelles : r 1 = 1 r_1=1 et r 2 = 2 r_2=2 . La solution de l'équation sans second membre est donc :

y 1 = C 1 e x + C 2 e 2 x y_1 = C_1 e^x + C_2 e^{2 x}

où C 1 C_1 et  C 2 C_2 sont des constantes réelles.

Détermination d'une solution particulière de l'équation

Exemple

On recherche comme solution particulière du type :

y 2 ( x ) = A sin ( x ) + B cos ( x ) y_2(x)= A sin(x) + B cos (x)

On a

y 2 ' ( x ) = A cos ( x ) − B sin ( x ) y_2'(x)= A cos (x) - B sin(x)

et

y 2 ' ' ( x ) = − A sin ( x ) − B cos ( x ) y_2''(x)= - A sin(x) - B cos (x)

L'équation appliquée à y 2 y_2 conduit à l'égalité valable quelque soit x x :

3 sin ( x ) = − A sin ( x ) − B cos ( x ) − 3 A cos ( x ) + 3 B sin ( x ) + 2 A sin ( x ) + 2 B cos ( x ) 3 sin(x)= - A sin(x) - B cos (x) -3 A cos (x) + 3 B sin(x) +2 A sin(x) + 2 B cos (x)

Soit :

( A + 3 B ) sin ( x ) + ( B − 3 A ) cos ( x ) = 3 sin ( x ) (A + 3 B) sin(x) + (B- 3 A) cos (x) =3 sin(x)

Il faut donc :

{ A + 3 B = 3 − 3 A + B = 0 ⇔ { A + 9 A = 3 B = 3 A left lbrace alignl matrix{A+ 3B = 3##~##-3 A + B = 0} right none ~dlrarrow~ left lbrace alignl matrix{A+9 A = 3 ##~##B =3 A} right none

La solution particulière de l'équation est donc :

y 2 ( x ) = 3 10 sin ( x ) + 9 10 cos ( x ) y_2(x)= 3 over 10 sin(x) + 9 over 10 cos (x)

Solution générale de l'équation

y = C 1 e x + C 2 e 2 x + 3 10 sin ( x ) + 9 10 cos ( x ) y= C_1 e^x + C_2 e^{2 x} + 3 over 10 sin(x) + 9 over 10 cos (x)

où C 1 C_1 et C 2 C_2 sont des constantes réelles.