Cas particulier : f est une fonction exponentielle [ANALYSE

Cas particulier : f est une fonction exponentielle

Propriété

si $α$ n'est pas solution de l'équation caractéristique, on cherche une solution particulière du type $y_{2} (x) = A e^{α x}$
si $α$ est racine d'ordre $p$ de l'équation caractéristique on cherche $y_{2}$ tel que $y_{2} (x) = P (x) e^{α x}$ où $P$ est un polynôme de degré $p$

Exemple

Exemple :

Résoudre l'équation différentielle du second ordre

$y^{(2)} - 3 y' + 2 y = e^{x}$

avec les conditions initiales

${\begin{matrix} y (0) = 1 \\ y' (0) = 0 \end{matrix}$

Solution :

Nous devons d'abord chercher la solution de l'équation homogène, soit :

$y^{(2)} - 3 y' + 2 y = 0$

L'équation caractéristique s'écrit :

$r^{2} - 3 r + 2 = 0$

Elle a pour racine $r_{1} = 1$ et $r_{2} = 2$ . La forme générale des solutions est donc :

$y_{1} (x) = A e^{x} + B e^{2 x}$

où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

Il faut maintenant déterminer une solution particulière. $e^{x}$ étant une des fonctions génératrices de $y_{1}$ , la solution particulière recherchée est du type : $y_{2} (x) = P (x) e^{x}$ où $P (x)$ est un polynôme de degré 1, soit :

$y_{2} (x) = (c x + d) e^{x}$

Dans ce cas :

$y_{2}' = (c x + d) e^{x} + c e^{x}$

$y_{2}'' = (c x + d + c) e^{x} + c e^{x} = (c x + d + 2 c) e^{x}$

En injectant ces relations dans l'équation différentielle, nous obtenons :

$\begin{matrix} y^{(2)} - 3 y' + 2 y = e^{x} [(c x + d + 2 c) - 3 (c x + d + c) + 2 (c x + d)] \\ = e^{x} (- c) \end{matrix}$

On a donc :

$- c e^{x} = e^{x}$

Soit

$c = - 1$

d'où :

$y_{2} (x) = e^{x} (- x + d)$

Dans la mesure où nous recherchons une solution particulière, on prend la fonction $y_{2}$ pour laquelle $d = 0$ , soit :

$y_{2} (x) = e^{x} (- x)$

La solution de l'équation est donc :

$y (x) = A e^{x} + B e^{2 x} + e^{x} (- x)$

soit :

$y (x) = (A - x) e^{x} + B e^{2 x}$

Les constantes $A$ et $B$ sont déterminées à partir des conditions aux limites. Il faut pour cela calculer la dérivée de $y$ :

$y' (x) = (A - x - 1) e^{x} + 2 B e^{2 x}$

Le système à résoudre est

${\begin{matrix} y (0) = A + B = 1 \\ y' (0) = A - 1 + 2 B = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} A = 1 - B \\ 1 - B - 1 + 2 B = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} A = 1 \\ B = 0 \end{matrix}$

La solution recherchée est donc : $y (x) = (1 - x) e^{x}$

Exemple

Résoudre $y'' + 4 y' + 4 y = 4 x^{2} + 6 e^{x}$

Recherche de la solution de l'équation homogène associée à :

L'équation caractéristique obtenue en recherchant une solution du type $y_{1} (x) = e^{r x}$ est :

$r^{2} + 4 r + 4 = 0$

Cette équation du second ordre admet une racine double : $r = - 2$

La solution de l'équation sans second membre est donc :

$y_{1} = e^{- 2 x} (C_{1} x + C_{2})$

où $C_{1}$ et $C_{2}$ sont des constantes réelles.

Détermination d'une solution particulière de l'équation

Le second membre est une combinaison linéaire d'un polynôme d'ordre 2 et d'une fonction exponentielle. On recherche comme solution particulière du type :

$y_{2} (x) = (A x^{2} + B x + C) + D e^{x}$

On a

$y_{2}' (x) = 2 A x + B + D e^{x}$

$y_{2}'' (x) = 2 A + D e^{x}$

L'équation appliquée à $y_{2}$ conduit à l'égalité variable quelque soit $x$ :

$2 A + D e^{x} + 4 (A x + B + D e^{x}) + 4 ((A x^{2} + B x + C) + D e^{x}) = 4 x^{2} + 6 e^{x}$

soit

$4 A x^{2} + (8 A + 4 B) x + (2 A + 4 B + 4 C) + 9 D e^{x} = 4 x^{2} + 6 e^{x}$

d'où

${\begin{matrix} 4 A & = 4 \\ 8 A + 4 B & = 0 \\ 2 A + 4 B + 4 C & = 0 \\ 9 D & = 6 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} A = 1 \\ B = - 2 \\ C = \frac{3}{2} \\ D = \frac{2}{3} \end{matrix}$

La solution particulière recherchée est donc :

y_{2} = x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2}{3} e^{x}

La solution générale de l'équation est donc :

$y = e^{- 2 x} (C_{1} x + C_{2}) + x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2}{3} e^{x}$

où $C_{1}$ et $C_{2}$ sont des constantes réelles.