Cas particulier : f est est un polynôme de degré n [ANALYSE

Cas particulier : f est est un polynôme de degré n

Propriété

Fondamental : Propriété

Si $f$ est un polynôme de degré $n$ avec $c \neq 0$ et $b \neq 0$ , on peut montrer qu'une solution particulière $y_{2}$ est un polynôme de même degré.

Si $f$ est un polynôme de degré $n$ avec $c = 0$ et $b \neq 0$ alors une solution particulière $y_{2}$ est un polynôme de degré $n + 1$ .

Il suffit d'identifier les coefficients du polynôme en calculant $y_{2}'$ et $y_{2}''$ et en les introduisant dans l'équation différentielle.

Exemple

Exemple :

Résoudre l'équation différentielle du second ordre

$y'' - 5 y' + 6 y = 3 x$

Recherche de l'équation homogène associée

L'équation caractéristique obtenue en recherchant une solution du type $y (x) = e^{r x}$ est :

$r^{2} - 5 r + 6 = 0$

Cette équation du second ordre admet deux solutions réelles : $r_{1} = 3$ et $r_{2} = 2$ . La solution de l'équation sans second membre est donc :

$y_{1} = A e^{2 x} + B e^{3 x}$

où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

Détermination d'une solution particulière de l'équation

Le second membre est un polynôme de degré 1. On cherche comme solution particulière un polynôme de même degré, soit $y_{2} (x) = C x + D$

$y_{2}' (x) = C$

$y_{2}'' (x) = 0$

L'équation appliquée à $y_{2}$ conduit à l'égalité valable quelque soit $x$ :

$- 5 C + 6 (C . x + D) = 3 x$

d'où :

${\begin{matrix} 6 C & = 3 \\ - 5 C + 6 D & = 0 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} C = \frac{1}{2} \\ D = \frac{5}{12} \end{matrix}$

Une solution particulière est donc :

$y_{2} = \frac{1}{2} x + \frac{5}{12}$

La solution générale de l'équation peut donc s'écrire : $y = A e^{2 x} + B e^{3 x} + \frac{1}{2} x + \frac{5}{12}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.