Dérivation de développements limités

Si une fonction f f admet un DL n ( a ) DL_n(a) sur I I et si f ' f' admet un DL n − 1 ( a ) DL_{n-1}(a) sur I I , alors la partie principale du développement de f ' f' s'obtient en dérivant terme à terme la partie principale du développement de f f .

Exemple

sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) p x 2 p + 1 ( 2 p + 1 ) ! + x 2 p + 2 ε ( x ) sin x = x -{{x^3}over{fact 3}} + {{x^5}over{fact 5}} - dotsaxis + (-1)^p {{x^{2 p +1}}over{fact (2 p +1)}} + x^{2 p +2} %varepsilon(x)

alors cos x = ( sin x ) ' = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) p x 2 p ( 2 p ) ! + x 2 p + 1 ε ( x ) cos x= (sin x)' = 1 -{{x^2}over{fact 2}} + {{x^4}over{fact 4}} - dotsaxis + (-1)^p {{x^{2 p}}over{fact (2 p)}} + x^{2 p +1} %varepsilon(x)