ANALYSE - Concours B des ENSA

Soit $f\mathrm{:}E\to F$ une fonction définie au voisinage du réel $a$.

S'il existe $(n+1)$ constantes $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ telles que , pour tout élément de $E$, on puisse écrire

$f(x)=a_0+a_1(x-a)+\cdots +a_n{(x-a)}^n+{(x-a)}^n\epsilon (x)$

où $\epsilon$ est une fonction de $E$ dans $\mathrm{ℝ}$ vérifiant $\underset{x\to a}{\lim }\epsilon (x)=0$, on dit que l'égalité ci-dessus est un développement limité d'ordre $n$ de la fonction $f$ autour de $a$ (ou en $a$), souvent abrégé en ${\mathit{DL}}_n(a)$ .

D'une manière générale, la fonction $\epsilon$ dépend aussi du nombre réel $a$.

La fonction polynomiale $a_0+a_1(x-a)+\cdots +a_n{(x-a)}^n$ est appelée partie principale (ou régulière) du développement limité, tandis que le terme ${(x-a)}^n\epsilon (x)$ est appelé reste d'ordre $n$ du développement limité.