Formule de Taylor

Soit I I un intervalle ouvert de ℝ setR contenant le point a a et f : I → F f nitalic : I toward F une fonction ( n + 1 ) (n+1) fois différentiable sur I I . On peut alors associer à tout élément x x de I I un nombre réel 0 < θ x < 1 0 < %theta_x < 1 , dépendant à la fois de a a et de x x , tel que la relation suivante soit vérifiée :

f ( x ) = f ( a ) + f ' ( a ) ( x − a ) + ⋯ + f ( p ) ( a ) ( x − a ) p p ! + ⋯ + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! + f ( n + 1 ) ( a + θ x ( x − a ) ) ( x − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! f(x)=f(a) + f'(a)(x-a) + dotsaxis + f^(p)(a){(x-a)^p}over{fact p} newline ~~~~~~~~~~~~~~~~+ dotsaxis + f^(n)(a){(x-a)^n}over{fact n} + f^(n+1)(a+%theta_x(x-a)){(x-a)^{n+1}}over{fact (n+1)}

Cette relation est appelée formule de Taylor. Il est d'usage d'appeler formule de MacLaurin la formule obtenue en remplaçant a a par zéro dans celle de Taylor.