Unicité du développement limité [ANALYSE

Unicité du développement limité

Soit $f : E \to F$ une fonction admettant un développement limité d'ordre $n$ autour d'un point $a$ . Ce développement est unique.

Démonstration

Soient

$f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x)$

$f (x) = b_{0} + b_{1} (x - a) + \dots + b_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{2} (x)$

deux ${DL}_{n} (a)$ .

Nous allons d'abord démontrer que $a_{0} = b_{0}, \dots, a_{n} = b_{n}$ .

Pour cela, raisonnons par l'absurde et supposons qu'il n'en soit pas ainsi.

Soit $k$ le plus petit entier naturel tel que $a_{k} \neq b_{k}$ . Alors, pour tout élément $x \neq a$ de $E$ , on peut écrire que

$(a_{k} - b_{k}) + (a_{k + 1} - b_{k + 1}) (x - a) + \dots + (a_{n} - b_{n}) {(x - a)}^{n - k} + {(x - a)}^{n - k} (ε_{1} (x) - ε_{2} (x)) = 0$

Par suite, en calculant la limite de cette expression lorsque $x$ tend vers $a$ , on obtient que

$a_{k} = b_{k}$

ce qui est absurde. On a ainsi démontré que $a_{0} = b_{0}, \dots, a_{n} = b_{n}$ . Il découle immédiatement de ce résultat que pour tout élément $x \neq a$ de $E$ : $ε_{1} (x) = ε_{2} (x)$ . D'où l'unicité du développement limité.

Remarque :

Supposons que $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε (x)$ soit le développement limité d'ordre $n$ de la fonction $f$ autour de $a$ . Alors, pour tout entier naturel $p$ , la fonction $f$ admet un développement limité d'ordre $p$ autour de $a$ dont la partie principale est $a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{p} {(x - a)}^{p}$ .