Développement limité d'une fonction composée [ANALYSE

Développement limité d'une fonction composée

Soit $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x)$ le ${DL}_{n} (a)$ de la fonction $f : E \to F$ . Soit $G$ un sous ensemble de $ℝ$ contenant zéro et $g (y) = g (0) + b_{1 y} + \dots + b_{ny}^{n} + y^{n} ε_{2} (y)$ le ${DL}_{n} (0)$ de la fonction $g : G \to H$ .

Alors, si $f (E) \subset G$ , la fonction composée $g \circ f : E \to H$ admet un développement limité d'ordre $n$ autour de $a$ , dont la partie principale est :

g (0) + a_{1} b_{1} (x - a) + (a_{2} b_{1} + a_{1}^{2} b_{2}) {(x - a)}^{2} + (a_{3} b_{1} + 2 a_{1} a_{2} b_{2} + a_{1}^{3} b_{3}) {(x - a)}^{3} + \dots + (a_{n} b_{1} + \dots + a_{1}^{n} b_{n}) {(x - a)}^{n}

Conseil :

Cette expression s'obtient en substituant, dans la partie principale du développement limité de $g$ , $y$ par la partie principale du développement limité de $f$ et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ .

Démonstration

Pour tout élément $x \neq a$ de $E$ , on peut écrire

$g (f (x)) = g (0) + b_{1} f (x) + \dots + b_{n} {(f (x))}^{n} + {(f (x))}^{n} ε_{2} (f (x))$

soit

\begin{matrix} g (f (x)) = g (0) + b_{1} (a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x)) + \dots \\ + b_{n} {(a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x))}^{n} \\ + {(a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x))}^{n} ε_{2} (a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots \\ + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x)) \end{matrix}

ce qui donne en développant

g (f (x)) = g (0) + a_{1} b_{1} (x - a) + (a_{2} b_{1} + a_{1}^{2} b_{2}) {(x - a)}^{2} + \dots + (a_{n} b_{1} + \dots + a_{1}^{n} b_{n}) {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{3} (x)

On vérifie ensuite facilement que $\lim_{x \to a} ε_{3} (x) = 0$ .

D'où le résultat.

Exemple :

Calculer le développement limité d'ordre $4$ de la fonction $f (x) = \ln (\cos x)$ autour de 0.

On a :

$f (x) = \ln (\cos x - 1 + 1) = \ln (u + 1) avec u = \cos x - 1 et \lim_{x \to 0} u = 0$

Or :

$u = \cos x - 1 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + x^{4} ε_{1} (x)$

et :

$\ln (u + 1) = u - \frac{u^{2}}{2} + \frac{u^{3}}{3} - \frac{u^{4}}{4} + u^{4} ε_{2} (x)$

En en conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $4$ de :

$[- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}] - \frac{1}{2} {[- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}]}^{2} + \frac{1}{3} {[- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}]}^{3} - \frac{1}{4} {[- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}]}^{4}$

on obtient :

$f (x) = [- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}] - \frac{x^{4}}{8} + x^{4} ε_{3} (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + x^{4} ε_{3} (x)$