Développement limité d'une fonction (n + 1) fois différentiable [ANALYSE

Développement limité d'une fonction (n + 1) fois différentiable

Soit $I$ un intervalle ouvert de $ℝ$ contenant le point $a$ et $f : I \to F$ une fonction $(n + 1)$ fois différentiable sur $I$ .

On suppose également qu'il existe un nombre réel $α > 0$ et une constante $M > 0$ tel que les relations $x \in I$ et $| x - a | \leq α$ impliquent $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ .

Alors la formule de Taylor fournit le développement limité d'ordre $n$ de la fonction $f$ autour de $a$ .

Démonstration

La formule de Taylor est applicable à $f$ .

$\begin{matrix} \forall x \in I \exists θ_{x}, 0 < θ_{x} < 1 tel que \\ f (x) = f (a) + f' (a) (x - a) + \dots + f^{(p)} (a) \frac{{(x - a)}^{p}}{p!} \\ + \dots + f^{(n)} (a) \frac{{(x - a)}^{n}}{n!} + f^{(n + 1)} (a + θ_{x} (x - a)) \frac{{(x - a)}^{n + 1}}{(n + 1)!} \end{matrix}$

Pour tout $x \in I$ , vérifiant $| x - a | \leq α, | f^{(n + 1)} (x) (a + θ_{x} (x - a)) | \leq M$

En posant $ε (x) = f^{(n + 1)} (a + θ_{x} (x - a)) \frac{(x - a)}{(n + 1)!}$ , on obtient $\lim_{x \to a} ε (x) = 0$ .

Ainsi $f (x) = f (a) + f' (a) (x - a) + \dots + f^{(n)} (a) \frac{{(x - a)}^{n}}{n!} + {(x - a)}^{n} ϵ (x)$

est le développement limité d'ordre $n$ de la fonction $f$ autour de $a$ .

Remarques

Si $f$ est continue en 0, pour tout $x$ de $I$ , $f$ admet un ${DL}_{0} (0)$ dont la partie principale est $f (0)$ .

Si $f$ est dérivable en 0, pour tout $x$ de $I$ , $f$ admet un ${DL}_{1} (0)$ dont la partie principale est $f (0) + x f' (0)$ .

Une fonction peut admettre un ${DL}_{n} (0)$ sans être $n$ fois dérivable en $0$ . Ainsi la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par :
$x \to {\begin{matrix} x + x^{2} + x^{3} \sin (\frac{1}{x}) & si x \neq 0 \\ 0 & si x = 0 \end{matrix}$
admet un ${DL}_{2} (0)$ de partie régulière $x + x^{2}$ car $\lim_{x \to 0} x \sin (\frac{1}{x}) = 0$ .
Mais cette fonction n'est pas deux fois dérivable en $0$ !
En effet , sa fonction dérivée est donnée par :
${\begin{matrix} f' (x) = 1 + 2 x + 3 x^{2} \sin (\frac{1}{x}) - x \cos (\frac{1}{x}) & si x \neq 0 \\ f' (0) = 0 \end{matrix}$
Or
$\lim_{x \to 0} \frac{f' (x) - f' (0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} [x + 3 x^{2} \sin (\frac{1}{x}) - x \cos (\frac{1}{x})] = \lim_{x \to 0} [- \cos (\frac{1}{x})]$
Et $- \cos (\frac{1}{x})$ n'admet pas de limite en $0$ . Donc $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0$ .