Opérations algébriques sur les développements limités [ANALYSE

Opérations algébriques sur les développements limités

Soient $f, g : E \to ℝ$ deux fonctions admettant respectivement comme développement limité d'ordre $n$ autour de $a$ :

$f (x) = a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{1} (x)$

$g (x) = b_{0} + b_{1} (x - a) + \dots + b_{n} {(x - a)}^{n} + {(x - a)}^{n} ε_{2} (x)$

Alors,

pour tout couple de nombres réels $α$ et $β$ , la fonction $α f + β g$ admet un ${DL}_{n} (a)$ dont la partie principale est
la fonction $fg$ admet un ${DL}_{n} (a)$ dont la partie principale s'obtient en effectuant le produit

et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ .
si $b_{0} \neq 0$ , la fonction $f / g$ admet un ${DL}_{n} (a)$ dont la partie principale s'obtient en effectuant la division suivant les puissances crois-santes jusqu'à l'ordre $n$ de $[a_{0} + a_{1} (x - a) + \dots + a_{n} {(x - a)}^{n}]$ par $[b_{0} + b_{1} (x - a) + \dots + b_{n} {(x - a)}^{n}]$ .

Calculer la partie principale du développement limité d'ordre $4$ autour de $0$ de la fonction

$f (x) = \frac{1 + x^{3}}{1 + x^{2}}$

Nous pouvons utiliser la méthode dite des "coefficients indéterminés".

Désignons par le ${DL}_{4} (0)$ . On peut écrire, pour tout $x$ non nul :

$1 + x^{3} = f (x) \cdot (1 + x^{2})$

donc par unicité du développement limité

ce qui implique que

$a_{0} = 1 = a_{1} + a_{3}; a_{1} = 0 = a_{0} + a_{2} = a_{2} + a_{4}$

soit en résolvant ce système

$a_{0} = 1; a_{1} = 0; a_{2} = - 1; a_{3} = 1; a_{4} = 1$

Nous aurions pu également effectuer la division suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre $4$ de $(1 + x^{3})$ par $(1 + x^{2})$ .