ANALYSE - Concours B des ENSA

Soit $E$ un sous-ensemble de $\mathrm{ℝ}$ ayant zéro pour centre de symétrie et $f\mathrm{:}E\to F$ une fonction admettant $f(x)=a_0+a_1(x-a)+\cdots +a_n{(x-a)}^n+{(x-a)}^n\epsilon (x)$ comme ${\mathit{DL}}_n(0)$.

Si $f$ est fonction paire $f(x)=f(-x)$, les coefficients $a_1,a_3,\cdots$ dont l'indice est impair sont tous nuls.

Si $f$ est fonction impaire $f(x)=-f(-x)$, les coefficients $a_0,a_2,\cdots$ dont l'indice est pair sont tous nuls.

Pour la démonstration, supposons que $f$ soit une fonction paire, l'autre cas se traitant de façon analogue. Pour tout élément de $E$, on peut écrire

En constatant que $\underset{x\to 0}{\lim }{(-1)}^n\epsilon (-x)=0$, on obtient, grâce à l'unicité du développement limité, que les coefficients $a_1,a_3,\cdots$ dont l'indice est impair sont tous nuls.