Résolutions dans C des éq. du second degré à coef. réels.
Rappel :
On rappelle qu'une équation de degré n a n racines dans \(\mathbb{C}\).
Méthode :
On se propose de résoudre dans \(\mathbb{C}\) toute équation de type \(az^2 + bz + c\) où a,b et c sont des
nombres réels \((a \not= 0)\). La factorisation canonique effectuée dans \(\mathbb{R}\) reste valable dans \(\mathbb C\).
\[az^2 + bz + c =a([z+\tfrac{b}{2a}]^2-\tfrac{\Delta}{4a^2}) ~~\text{où}~~ \Delta = b^2-4ac\]
Si \(\Delta \geq 0\), alors on sait résoudre l'équation dans \(\mathbb R\).
Si \(\Delta < 0\) :
\[|∆| = −∆ = (i\sqrt{|∆|})^2
~~\text{, on résout }~~
a[(z+\tfrac{b}{2a})^2 - \tfrac{[i\sqrt{|∆|}]^2}{4a}]=0\]
Elle admet deux solutions complexes conjugués :
\[\boxed{z_1=\tfrac{-b+i\sqrt{∆}}{2a}
~~\text{ et }~~
z_2=\tfrac{-b-i\sqrt{∆}}{2a}}\]
Dans le cas \(∆ ≥ 0\), alors on rappelle que l'équation admet deux racines réelles :
\[\boxed{z_1=\tfrac{-b+\sqrt{∆}}{2a}
~~\text{ et }~~
z_2=\tfrac{-b-\sqrt{∆}}{2a}}\]
Dans tous les cas, on aura les deux propriétés suivantes :
• La somme des racines \(S = z_1 + z_2 = −\tfrac{b}{a}\)
• Le produit des racines \(P = z_1z_2 =\tfrac{c}{a}\)