Forme trigonométrique d'un produit et formule de Moivre
Méthode :
Soit \(z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \text{~et~} z′ = r′(\cos\theta′ + i\sin \theta′)\) , alors on remarque que :
\(zz′ = rr′(\cos \theta + i\sin \theta)(\cos \theta′ + i\sin \theta′)\)
Soit \(zz′ = rr′{(\cos \theta \cos \theta′ − \sin \theta \sin \theta′) + i(\cos \theta \sin \theta′ + \cos \theta′\sin \theta)}\)
D'où \(zz′ = rr′{\cos(\theta + \theta′) + i\sin(\theta + \theta′)}\)
Donc \(|zz′| = rr′\text{~et~} arg(zz′) = \theta + \theta′ \).
L'application de cette propriété conduit à la formule de Moivre :
\[\boxed{ ∀n ∈ \mathbb{N}, ∀\theta ∈ \mathbb{R} ~~~~ (\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta }\]
Exemple :
On aura donc par exemple :
\((\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4})^2003 = \cos \frac{2003\pi}{4} + i\sin \frac{2003\pi}{4}\)