Racine de l'unité dans C
Rappel :
La notation complexe est utile pour résoudre \(∀n ∈ \mathbb{N} , z^n = 1\).
En effet, on remarque que \(1 = e^{2i\pi}\) et que \((e^{i \tfrac{2\pi}{n}} )^n = e^{i2\pi} = 1\)
\(z=e^{2i \tfrac{\pi}{n}}\) est une racine \(n^{\text{ième}}\) de l'unité.
Les autres racines sont obtenues par multiplication par z.
Les n racines \(n^{\text{ième}}\) de l'unité sont donc :
Elles se placent dans le plan complexe sur le cercle de rayon 1 centré sur l'origine et sont espacées d'un angle \(\tfrac{2\pi}{2}\)
La racine troisième de l'unité est noté j (cf. figure 1-11.5).
On a \(j^3 = 1 \)et comme propriété remarquable :
La notation complexe est utile pour résoudre :
Les n racines \(n^{\text{ième}}\) de re^{i\theta} sont :
\(\sqrt[n]{r}e^{i \tfrac{\theta}{n}} ;~~\sqrt[n]{r}e^{i (\tfrac{\theta}{n}+\tfrac{2\pi}{n})} ;~~\sqrt[n]{r}e^{i (\tfrac{\theta}{n}+\tfrac{2.2\pi}{n})} ;~~...~~ ; ~~\sqrt[n]{r}e^{i (\tfrac{\theta}{n}+\tfrac{(n-1)2\pi}{n})}\)
Remarque :
On remarque que l'on obtient toutes les racines \(n^{\text{ième}}\) de \(re^{i\theta}\) en multipliant successivement \(\sqrt[n]{r}e^{i \tfrac{\theta}{n}}\) par les racines \(n^{\text{ième}}\) de 1