Notation r exp(i θ)
Remarque :
Dans la formule de Moivre, on peut remarquer que l'argument \(\theta\) se comporte comme un exposant. On convient de noter :
\[\boxed{ z = r\, (\cos\theta + i\sin\theta) = r\; e^{i\theta} }\]
Exemple :
On aura donc par exemple :
\(1 + i\sqrt{3} = 2(\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt3}{2}) = 2e^{i\tfrac{\pi}{3}} \text{~car~} \tfrac{1}{2} = \cos\tfrac{\pi}{3} \text{~et~} \tfrac{\sqrt3}{2} = \sin \tfrac{\pi}{3}\)
Complément :
Avec cette notation la formule de Moivre devient : \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\)
D'autre part,\(∀z = re^{i\theta} ∈ \mathbb{C}\) , \(z′ = r′e^{i\theta'}∈ \mathbb{C}\)
\(zz′ = rr′e^{i(\theta+\theta′)}\)
\(zz′ =rr′ e^{i(\theta-\theta′)}\)