Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Pour tout \(n\geqslant 1\), on pose \(I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\left( \dfrac{-1}{1+t^{2}}\right) ^{n}\text{d}t\).

1. Justifiez que \(I_{n}\) est bien définie.

2. Démontrez que \(\left( -1\right) ^{n}I_{n}\) décroît et déterminez sa limite.

3. La série \(\displaystyle\sum I_{n}\) est-elle convergente ?