AN34
Question
Déterminez le rayon de convergence de la série entière \(\sum\dfrac{x^n}{(2n)!}\).
On pose \(S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(2n)!}\).
Déterminez le développement en série entière en 0 de la fonction \(x\mapsto \text{ch}(x)\), et précisez le rayon de convergence.
Déterminez \(S(x)\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(0)=1,\ \ f(x)=\text{ch}\sqrt x\text{ pour $x>0$},\ \ f(x)=\cos\sqrt{-x}\text{ pour $x<0$}\ .\)
Démontrez que \(f\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\).