AN19
Question
Soit \((f_n)\) une suite d'applications de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\).
On suppose que la suite \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers une application \(f\), et que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(f_n\) est continue en \(x_0\), avec \(x_0\in[a,b]\).
Démontrez que \(f\) est continue en \(x_0\).
On pose, pour tout \(x\in[0;1]\), \(g_n(x)=x^n\). La suite \((g_n)\) converge-t-elle uniformément sur \([0;1]\)?