AN14

Question

Soit \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite décroissante positive de limite nulle.

  1. Démontrez que la série \(\displaystyle\sum \left( -1\right) ^{k}u_{k}\) est convergente.

    Indication : on pourra considérer \(\left( S_{2n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) et \(\left( S_{2n+1}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) avec \(S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k}u_{k}\).

  2. Indiquez un majorant du reste de cette série. Démontrez ce résultat.