AN15
Question
Soit \(X\) un ensemble , \(\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite de fonctions de \(X\) dans \(\mathbb{C}\) et \(f\) une fonction de \(X\) dans \(\mathbb{C}\).
On suppose que :
\(\left( \forall x\in X\right) \left( \forall n\in \mathbb{N}\right) \ \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right) \right\vert \leqslant \alpha _{n}\)
où \(\left( \alpha _{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite de réels telle que \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\alpha _{n}=0\).
Démontrez que la suite \(\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) converge uniformément vers \(f\) sur \(X\).
La suite \(\left( z^{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert \(D\left( 0,\frac{1}{2}\right)\) de centre \(0\) et de rayon \(\frac{1}{2}\) ?
Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert \(D\left( 0,1\right)\) de centre 0 et de rayon 1 ?