AN18
Question
Soit \(X\) une partie de \(\mathbb{R}$, $\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite de fonctions de \(X\) dans \(\mathbb{R}\) convergeant simplement vers une fonction \(f\). On suppose qu'il existe une suite \(\left( x_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\) d'éléments de \(X\) telle que la suite \(\left( f_{n}(x_{n})-f\left( x_{n}\right) \right) _{n\in \mathbb{N}}\) ne tend pas vers \(0\).
Démontrez que la suite de fonctions \(\left( f_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) ne converge pas uniformément vers \(f\) sur \(X\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(f_{n}(x) =\dfrac{\sin \left( nx\right) }{1+n^{2}x^{2}}\).
Étudiez la convergence simple de la suite \(\left( f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\).
Étudiez la convergence uniforme de la suite \(\left( f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}\) sur \([a,+\infty[\) (avec \(a>0\)) puis sur \(]0,+\infty[\).