Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) une suite de réels strictement positifs et \(l\) un réel positif strictement inférieur à 1.

1. Démontrez que si \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l\), alors la série \(\displaystyle\sum u_{n}\) converge.

   Indication : écrivez judicieusement la définition de \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l\) puis majorez, pour \(n\) assez grand, \(u_{n}\) par le terme général d'une suite géométrique.

2. Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum \dfrac{n}{\left(3n+1\right)!}\) ?