Banque d'exercices de mathématiques pour le programme 2003-2014 des oraux CCP-MP

Soit \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3}\left( \mathbb{C}\right)\).

1. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\). \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Soit \(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{C}^{3}\) et \(B=aI_{3}+bA+cA^{2}\), où \(I_3\) désigne la matrice identité d'ordre 3. Déduisez de la question 1. les éléments propres de \(B\).