Exercice : Exercice 8b - Variables aléatoires [Probabilités

Soit $k \in ℝ_{+}^{*}$ , on déﬁnit la fonction suivante :

${\begin{matrix} F (t) & = & {kte}^{- t^{2}} & si & t & \geq & 0 \\ F (t) & = & {kt}^{} & si & t & < & 0 \end{matrix}$

Question

1. Démontrer qu'il existe un réel $k \in ℝ_{+}^{*}$ telle que la fonction $f$ soit la densité de probabilité d'une v.a.r. $X$.

Indice

Il faut vériﬁer que $\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)dt=1$, on trouve : $k=\frac{2}{5}$.

Question

2. $k$ ayant la valeur trouvée à la question 1, représenter f dans un repère orthonormal $(O, \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} )$ et déﬁnir la fonction de répartition $F$ .

Indice

La fonction de répartition $F$ est déﬁnie de la façon suivante :

Si $x \leq 0, F (x) =\int^x_{-\infty} \frac{2}{5}t^2e^t dt$

Si $x \geq 0, F (x) = 2 + \int_{0}^{x} \frac{2}{5} {te}^{- t^{2}} dt$

Question

3. Calculer $P (0, 2 < X < 0, 5)$

Indice

$P (0, 2 < X < 0, 5) = F (0, 5) − F (0, 2)$

Question

4. Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V (X)$.

(Rappel : $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-t^2}dt=1)$.

Indice

Calculer $E(X) =\int^{+\infty}_{-\infty}tf(t)$ et $E(X^2)=\int^{+\infty}_{-\infty}t^2f(t)$ et faire une série d'intégrations par parties.

On trouve : $E(X) \approx −2, 31 ; E(X^2 ) = 9, 8 ; V (X) \approx 4, 46$