Exercice 13a - Lois de probabilité

Une machine usine des pièces. On désigne par \(X\) la variable aléatoire qui à chaque pièce tirée au hasard associe sa cote \(x\). On admet que \(X\) suit une loi normale de moyenne \(m = 54 mm\) et d'écart type \(\sigma = 0, 2 mm\).

Question

1. Un pièce est considérée comme défectueuse si \(x \leq 53, 6\) ou \(x \geq 54, 3\). Calculer la probabilité \(p\) qu'une pièce soit défectueuse.

Solution

Il suffit de remarquer si l'on pose \(T=\frac {X-m}{\sigma}\), \(T\) suit une loi normale centrée réduite.

\(p = P (X \leq 53, 6\) ou \(X \geq 54, 3) = 1 − P (53, 6 < X < 54, 3)\)

or

\(P (53, 6 < X < 54, 3) = P(\frac {53,6-54}{0,2}<T<\frac {54,3-54}{0,2})= P (−2 < T < 1, 5)\)

donc

\(p = 1 − P (−2 < T < 1, 5) = 0, 056\)

Question

2. Pour vérifier que la machine ne s'est pas déréglée, on détermine les cotes d'alerte \(m − h\) et \(m + h\) définies par : \(P (m − h \leq X \leq m + h) = 0, 90\). Calculer les cotes d'alerte.

Solution

Il faut trouver \(h\) tel que : \(P (54 − h \leq X \leq 54 + h) = 0, 90\) soit

\(P(\frac{-h}{0,2}\leq T\leq \frac{h}{0,2})=0,90\)

Or :

\(P(\frac{-h}{0,2}\leq T\leq \frac{h}{0,2})=2P(T\leq \frac{h}{0,2})-1=0,9\)

Donc

\(P(T\leq\frac{h}{0,2})=0,95\)

Dans la table : \(P (T < 1, 645) = 0, 95\) d'où \(h = 0, 329\)

Les côtes d'alertes sont donc : \(54, 329\) et \(53, 671\)