Exercice 12a - Lois de probabilité

Question

1. Une suspension de 106 bactéries est infectée par une population de phages (particules infectieuses). A la fin de l'expérience, on a constaté que 65×104 bactéries ont été infectées. Quel est le pourcentage de bactéries infectées ?

Solution

Le pourcentage de bactéries infectées est égal à \(\frac {65 \times 10^4}{10^6} \times 100 =65 \%\).

Question

2. On observe une bactérie choisie au hasard. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de phages infectant cette bactérie. On admet que X suit une loi de Poisson de paramètre \lambda.

a Justifier le choix du paramètre \(\lambda = 1, 05\)

b Calculer \(P (X = 1), P (X \geq 2)\).

c Quel est le nombre moyen de phages par bactérie infectée ?

Solution

\(X\) suit une loi de Poisson de paramètre \lambda.

a On a : \(P (X = 0) = 1 − 0, 65\)

soit

\(e^{-\lambda} \frac {\lambda^0}{0 !}=0,35\)

Donc :

\(\lambda = − ln 0, 35 \approx 1, 05\)

b \(P (X = 1) = e^{−1,05}\frac {1,05}{1 !} \approx 0, 367\)

\(P (X \geq 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1)) \approx 0, 283\).

c On sait que : \(E(X) = \lambda = 1, 05\). Le nombre moyen de phages par bactérie infectée est donc égal à 1,05.