Exercice 11a - Changement de variable

Question

Soit X une v.a.r. suivant une loi normale centrée réduite \(N (0; 1)\). On pose \(Y = \sigma X + \mu\).

Montrer que\(Y\) suit une loi normale une loi normale de paramètre \(N (\mu; \sigma)\).

Solution

On a donc

\(g :\mathbb R  \rightarrow \mathbb R\)

\(X \rightarrow Y=\sigma X+\mu\) .

La fonction \(g\) est bijective et on a

\(g^{-1} : \mathbb R \rightarrow \mathbb R\)

\(Y \rightarrow X=\frac {Y-\mu}{\sigma}\)

On a alors \(g^{−1} (y) =\frac{1}{\sigma}\). Appliquons alors la formule du transfert, on obtient :

f Y ( y ) = f X ( y − μ σ ) × | 1 σ | , = 1 2 π e − 1 2 ( y − μ σ ) 2 × 1 σ , f Y ( y ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( y − μ σ 2 ) 2 , matrix {f_Y(y) # "=" # f_X # ({y-%mu}over{%sigma}) # ~times~ # left lline 1 over %sigma right rline # , ## ~ # "=" # {1}over{sqrt {2 %pi}} # e^{-{{1}over{2}({y-%mu}over{%sigma})^2}} # ~times~ # {1}over{%sigma} # , ## f_Y(y) # "=" # {1}over{%sigma sqrt {2 %pi}} # e^{-{{1}over{2}({y-%mu}over{%sigma^2})^2}} # ~ # ~ # ,}

qui est la densité d'une loi normale de paramètre \(N (\mu; \sigma)\). De la même manière, on aurait pu montrer l'inverse à partir d'une loi \(N (\mu; \sigma)\) et arriver à une loi \(N (0; 1)\)) et donc obtenir un résultat important en pratique, notamment dans l'utilisation des tables :