Limite à gauche. Limite à droite. [ANALYSE

Limite à gauche. Limite à droite.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ - {1}$ par $f (x) = \frac{2}{1 - x}$ .

Au voisinage du point 1, $f$ prend des valeurs très grandes en valeur absolue, positives pour $x < 1$ et négatives pour $x > 1$ . $f$ n'a donc pas de limite en 1.

Cependant la fonction $f_{1}$ définie sur $I =] 1; + \infty [$ par : $f_{1} (x) = \frac{2}{1 - x}$ , qui est la restriction de $f$ à $I$ (ou à droite), tend vers $- \infty$ lorsque $x$ tend vers 1. On dit que $- \infty$ est la limite à droite en 1 de la fonction $f$ .

On écrit : $\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x > 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$ ou encore $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - \infty$

On peut donc dire que la droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe.

On définit de même la limite à gauche en 1 :

On écrit : $\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x < 1 \end{matrix}} f (x) = + \infty$ ou encore $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = + \infty$

De même, la droite d'équation $x = 1$ est asymptote à la courbe.

Définition :

$l$ désigne un réel fixé, $+ \infty$ ou $- \infty$ . On dit que $l$ est la limite à gauche [respectivement à droite] de $f$ au point $a$ si et seulement si :

$\forall ε > 0, \exists η > 0 / - η \leq x - a \leq 0 \Rightarrow | f (x) - l | \leq ε$

[respectivement : $\forall ε > 0, \exists η > 0 / 0 \leq x - a \leq η \Rightarrow | f (x) - l | \leq ε$ ]

On écrit : $\lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x < a \end{matrix}} f (x) = l$ ou $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = l$ la limite à gauche

Et $\lim_{\begin{matrix} x \to a \\ x > a \end{matrix}} f (x) = l$ ou $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = l$ la limite à droite.

Fondamental :

Si une fonction $f$ admet au point $a$ une limite à gauche $l_{g}$ et une limite à droite $l_{d}$ telles que $l_{g} = l_{d} = l$ , alors $f$ admet une limite $l$ en $a$

Contre-exemple : Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par : ${\begin{matrix} f (x) = 2 pour x < 1 \\ f (x) = 3 pour x \geq 1 \end{matrix}$

$f$ n'a pas la limite de en 1 (Voir exemple 1.2.2 ).

On peut écrire cependant : $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 3$ et $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 2$