Limite réelle (finie) en a [ANALYSE

Limite réelle (finie) en a

Définition :

$f$ est une fonction définie sur $I$ sauf peut-être au point $a$ . Dire que $f (x)$ tend vers $l$ lorsque $x$ tend vers $a$ signifie que tout voisinage de $l$ contient toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ assez voisin de $a$ .

On écrit : $\lim_{x \to a} f (x) = l$ ou $\begin{matrix} f (x) \to l \\ x \to a \end{matrix}$

Autrement dit :

$\lim_{x \to a} f (x) = l \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists η > 0 / \forall x \in I, | x - a | \leq η \Rightarrow | f (x) - l | \leq ε$

Remarque :

si $f$ est définie en $a$ et si la limite de $f$ existe alors $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Exemple :

Chercher la limite en $a = 1$ de $f : x \to \frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}$ définie sur $D =] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$

On a : $x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)$

donc, pour $x \neq 1$ , on a : $f (x) = x + 2$ et $| f (x) - 3 | = | x - 1 |$

donc $\forall ε > 0, \exists η (= ε) / \forall x \in D, | x - 1 | \leq η \Rightarrow | f (x) - 3 | = | x - 1 | \leq ε$

on en déduit : $\lim_{x \to 1} f (x) = 3$

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par : ${\begin{matrix} f (x) = 2 pour x < 1 \\ f (x) = 3 pour x \geq 1 \end{matrix}$

$f (1) = 3$ , mais $3$ n'est pas la limite de $f$ en 1, en effet l'intervalle $J =] 2,5; 3,5 [$ , contenant $3$ ne contient pas toutes les valeurs de $f (x)$ pour $x$ voisin de $1$ : $f (0,99) = 2$ et $2 \notin J$